Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры

Аксиома параллельных в планиметрии, известная так же как Пятый постулат Евклида, утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства многих свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел.

Апофема-

В геометрии термин «нечто неотложенное» отнесен к элементам правильных многоугольников и пирамиды, а так же к усеченной пирамиде. Операция же «отложение» в геометрии применяется либо к отрезкам, либо к углам. Если обратиться к определению указанных фигур, то станет ясно, что операция отложения относится именно к отрезкам. Например, если на плоскости правильного многоугольника отложить отрезок, один из которых совпадает с центром многоугольника, а другой- с серединой любой из его сторон, то и получится апофема этого многоугольника.

Арифметический корень тесно связан с понятием абсолютной величины   (  модуля  ) числа, а именно:

Три определения биссектрисы угла

• Биссектриса угла - это луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части.
• Биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
• Биссектриса угла треугольника - это отрезок биссектрисы этого угла, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне

• равногранный тетраэдр, у которого все грани - равные между собой треугольники;
• ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке;
• прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой;
• правильный тетраэдр, у которого все грани - равносторонние треугольники.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Геометрическое определение тригонометрических функций

Градус-

Греческий астроном Птолемей Клавдий, узнав, что вавилонские астрономы делят окружность на 360 равных частей, назвал такую часть meros, что означает «часть», «доля». Арабы перевели это слово на свой язык как «даражда», что означает «ступень». Мы пользуемся словом «градус», как переводим «даражда» на латинский язык.

Десятичная дробь — дробь со знаменателем 10ⁿ, где n — натуральное число.

Имеет особую форму записи: целая часть в десятичной системе счисления, затем запятая и затем дробная часть в десятичной системе счисления, причём количество цифр дробной части строго определяется размерностью дробной части: если это десятые доли, дробная часть записывается одной цифрой; если тысячные — тремя; десятитысячные — четырьмя и т. д.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Четность и нечетность

Функция называется четной, если
      – область определения функции симметрична относительно нуля
      – для любого х из области определения f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если
      – область определения функции симметрична относительно нуля
      – для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Прямая, предельная положению секущей - называют касательной к кривой L в точке M

—  Касательной к окружности называется прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку. При этом данная точка называется точкой касания.

—  Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку. Эта точка называется точкой касания.

*  Теорема о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки: Если через точку M, лежащую вне окружности, проведены две прямые, касающиеся окружности в точках A и B, то MA = MB.

Касательная как предельное положение секущей

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат- четырехугольник, все стороны которого равны, а все углы прямые. Квадрат служит мерою площадей плоских фигур и криволинейных поверхностей, поэтому найти какую-нибудь площадь значит вычислить, сколько раз заключается в ней площадь квадрата, принимаемого за единицу.

 Конус- тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Далее будет рассматриваться именно этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник, конус становится пирамидой.

Конус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Далее будет рассматриваться именно этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник, конус становится пирамидой.

Координатная прямая - это прямая, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и масштаб (единичный отрезок).

Если точка M числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу называют косинусом числа t  и обозначают cos t

Логарифм положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию a - это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число b

Логарифм - показатель степени y, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить данное число х.

Иногда требуется показать, что одна из величин много больше другой, обычно на несколько порядков:

• запись означает, что a много больше b.

Иногда не требуется знать результат и тогда можно определить формальное неравенство как два числа или алгебраических выражения, соединённые знаками >,<,=.

Многогранник — поверхность составленная из многоугольников, а также тело ограниченное такой поверхостью.

Множеством (областью) значений Е (у) функции у = f (х)

называется множество всех таких чисел у₀, для каждого из

которых найдется число х₀ такое, что: f(х₀) = у₀.

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x₁ и x₂ из этого множества, таких, что x₁ < x₂ выполнено неравенство f(x₁)< f(x₂).

Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x₁ и x₂ из этого множества, таких, что x₁ < x₂ выполнено неравенство f(x₁) > f(x₂).

Определение: Точка называется точкой экстремума (максимума или минимума)функции,если есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки.

Монотонная функция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро?го моното?нной.

Наименьший общий знаменатель- это наименьшее кратное чисел, которые являются знаменателями данных дробей.

Нестрогие неравенства означают следующее:

• запись означает, что a меньше либо равно b;
• запись означает, что a больше либо равно b.

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Х₁,Х₂,Х₃ – нули функции y = f(x).

Областью допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения называется пересечение области определения функции.

Параллелепипедом называеться призма, основания которой - параллелограмы.

Параллелепипеды, как и все призмы, могут быть прямые и наклонные. Из определений следует:

- у наклонного параллелепипеда все грани - параллелограммы;

- у прямого параллелепипеда все грани - прямоугольники.

В любом параллелепипеде

- противоположные грани равны и параллельны;

- диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

Пусть L - прямая, пересекающая плоскость a, A - производная точка. Точка A1 пересечения прямой L1, проходящей через A паралельно L, c a называется Параллельной проекцией точки A. Параллельной проекцией фигуры называются множества Параллельных проекций всех точек данной фигуры.

Параллельные прямые  -  прямые в пространстве,лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся.

Число T, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функции y=f(x)

Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

Две плоскости называются перпендикулярными, если они образуют прямые двугранные углы.

Планиметрия (от лат. planum — «плоскость», др.-греч. ?????? — «измеряю») — раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости.

Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и площади оснований. Для прямого кругового цилиндра:

.

Если a больше или равно 0 и n - натуральное число, большее 1, то существует, и только одно, неотрицательное число х, такое, что выполняется равенство xⁿ = a. Это число х называется арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа а . Число а называется подкоренным числом, n - показателем корня.

Построение перпендикуляра на плоскости:

Шаг 1: (красный) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А и В.

Шаг 2: (зелёный) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A' и В' соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: (синий) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ

Правило 1. Если функция y = f(x) и y = g(x) имеют производную в точке x, то их сумма имеет производную в точке х, иными словами, производная суммы равна сумме производных:

                                 (f(x) + g(x))?= f?(x) = g?(x)

Правило 2. Если функция y = f(x) имеет производную в точке х, то и функция y =kf(x) имеет производную в точке х, причем

                                         (kf(x))? = kf?(x)

Правило 3. Если функции y = f(x) и y = g(x) имеют производную в точке х, то и их произведение имеет производную в точке х, причем

                              (f(x) g(x))? =f?(x) g(x) + f(x) g?(x)

 иными словами, производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции.

Правило 4. Если функции имеют производную в точке х и в этой точке     g(x) ? 0, то и частное f(x)/g(x) имеет производную в точке х, причем,

                       (f(x)/g(x))? = (f?(x) g(x) - f(x) g?(x)) /g²(x)

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

У правельной пирамиды:
- боковые рёбра равны;
- боковые грани равны;
- апофемы равны;
- двугранные углы при основании равны;
- двугранные углы при боковых рёбрах равны;
- каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней;
- каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания;
-  каждая точка высоты равноудалена от всех боковых рёбер.

Предел функции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x₀, если для всех значений x, достаточно близких к x₀, значение f(x) близко к A.

Производная — основное понятие дифференциального исчесления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Производной функции f(x) (f'(x₀)) в точке x₀  называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.

Прямая, параллельная плоскости - это прямая, не имеющая с ней ни одной общей точки.

Прямоугольник - это параллелограм , у которого все углы прямые.

(рис.1 - квадрат, рис.2 - прямоугольник)

Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые. Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма и дополнительно к ним следующими свойствами:

1) Перпендикуляр, проходящий через середины протиповоложенных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.

2) Прямоугольник имеет две оси симметрии.

3) Диагонали прямоугольника равны.

Угол называеться прямым, если он равен 90 градусам, острым, если он меньше 90 градусов, тупым, если он больше 90, но меньше 180 градусов.

- прямой угол

- острый угол

 - тупой угол

Радианное измерение углов: Один радиан равен центральному углу окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности.

Свойства

• Основное логарифмическое тождество:

• (замена основания логарифма)

Свойства призмы:

• 1. Основания призмы являются равными многоугольниками.
• 2. Боковые грани призмы являются параллелограммами.
• 3. Боковые ребра призмы равны.

• Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
• Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.

• Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.

• Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.
  
  

Синус острого угла - это отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе.

Ординату точки M называют синусом числа t и обозначают sin t

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной,если она не имеет ни одного решения.

Скрещивающиеся прямые - две прямые в пространстве,через которые нельзя провести плоскость.

В математике неравенство есть утверждение об относительной величине или порядке двух объектов.

• запись означает, что a меньше чем b;
• запись означает, что a больше чем b.

Сфера - замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра.

Если прямая,не лежащая в данной плоскости,параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то эта прямая параллельна самой плоскости.  

Точку x=x₀ называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой, кроме точки x=x₀, выполняется неравенство f(x) < f(x₀).

Х_max – точка максимума
У_max – максимум

Точку x=x₀ называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме точки x=x₀) выполняется неравенство f(x) > f(x₀).

X_min – точка минимума
Y_min – минимум

X_min, Х_max – точки экстремума
Y_min, У_max – экстремумы

Трапеция (от греч. ????????? — столик; ??????? — стол, еда) — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.

Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого выделенная пара противолежащих сторон параллельна, в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции.

Треугольник - многоугольник с тремя сторонами. Стороны и углы треугольника называются его элементами.

Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями  называется наименьшим из двугранных углов, образованых соотвтствующими полуплоскостями

Углом между двумя соседними гранями многогранника удем называть двугранный угол между соответствующими полуплоскостями

Уравнение - 1. Равенство, содержащее неизвестное, обозначаемое буквой. 2. Пара функций от одной и той же переменной х, соединенных знаком равенства: f(x) = g (x)

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀ :

1) (xⁿ)? = nx^n-1

2) (sinx)? = cosx

3) (cosx)? = -sinx

4) (tgx)? = 1/cos2x

5) (ctgx)? = - 1/sin2x

6) (x)? = 1

7) (?x)? = 1/2?x

Функция — это закон, по которому каждому значению элемента x из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.

Строгое определение: функция или отображение — это кортеж множеств , обладающая следующими свойствами:

• (декартово произведение X и Y);
• 

Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности.