Математическая техника решения физических задач

а) Пусть требуется найти арифметический ?49 . Такой корень будет 7, так как 7² = 49. Зададимся вопросом, нельзя ли подыскать какое-нибудь другое положительное число х, которое тоже было бы ?49. Предположим, что такое число существует. Тогда оно должно быть либо меньше 7, либо больше 7. Если допустим, что x < 7, то тогда и х²< 49 (с уменьшением множимого и множителя произведение уменьшается); если же допустим, что x >7, то тогда и х²>49. Значит, никакое положительное число, ни меньшее 7, ни большее 7, не может равняться ?49. Таким образом арифметический корень данной степени из данного числа может быть только один.

К другому заключению мы пришли бы, если бы говорили не о положительном значении корня, а о каком-нибудь; так, ?49 равен и числу 7, и числу — 7, так как и 7² = 49 и ( — 7)² = 49.

б) Возьмем какие-нибудь два неравные положительные числа, напр. 49 и 56. Из того, что 49 < 56, мы можем заключить, что и ?49 < ?56 (если только знаком ? будем обозначать арифметический квадратный корень). Действительно: 7 < 8. Подобно этому из того, что 64 < l25, мы можем заключить, что и ³?64 < ³?125

Действительно: ³?64 = 4 и ³?125 = 5 и 4 < 5. Вообще меньшему положительному числу соответствует и меньший арифметический корень (той же степени).

где k – постоянная Больцмана, ее численное значение k=1,38?10^-23Дж/К.

Между молекулами любого вещества одновременно действуют силы взаимного притяжения и отталкивания (межмолекулярное взаимодействие). Таким взаимодействием объясняется существование устойчивых жидких и твердых тел, малая сжимаемость жидкостей, способность твердых тел сопротивляться деформации сжатия (1.2).

Хаотичность теплового движения молекул газа означает, что ни одно из направлений возможного их движения не является преимущественным - все направления движения равноправны и встречаются одинаково часто. Тогда вдоль каждой из координатных осей будет двигаться в среднем по одной трети всех молекул, составляющих данный газ. Соударения между молекулами газа приводят к тому, что скорости его молекул непрерывно изменяются по величине и направлению.

Средняя арифметическая скорость движения молекул газа по модулю равна

где N – общее число молекул газа. Величина средней арифметической скорости движения молекул

где R – универсальная газовая постоянная, R=8,31 Дж/моль?К, ? – молярная масса данного газа.

Средняя квадратичная скорость движения молекул u. Здесь - средний квадрат скорости движения молекул. Его не следует смешивать с квадратом средней скорости: . Для расчета средней квадратичной скорости используют выражения:

где R – универсальная газовая постоянная, ? – молярная масса данного газа.

Стандартная, она же научная форма записи числа. Любое рациональное число может быть представлено в стандартном виде, например:
Пример 1: Число 7984 в стандартной форме записывается как 7,984*10³ , где 7,984 - мантисса а 10³ - порядок.
Пример 2 : Величины 890 и 45932, записанные в стандартной форме выглядят как: 8,9*10² и 4,5932*10⁴ и отличаются на 2 порядка = имеют разницу в 2 порядка. Числа 7,5 и 75 различаются на порядок ( на 1 порядок) = имеют разницу в 1 порядок. И так далее...
Очевидно, что при сложении и вычитании чисел записанных в стандартной форме и имеющих один порядок, достаточно сложить или вычесть мантиссы.
Пример 3: 7,2*10³⁴ + 1,2*10³⁴= (7,2+ 1,2)*10³⁴=8,4*10³⁴
Единственный способ корректно сложить или вычесть числа разных порядков - это выразить одно из них в нестандартной форме:
Пример 4: 9,9*10¹³ + 9,9*10¹²=9,9*10¹³ + 0,99*10¹³= (9,9+ 0,99)*10¹³=10,89*10¹³=1,089*10¹⁴
Очень удобно проводить операции умножения и деления с числами, записанными в стандартной форме, пользуясь правилами действий со степенями:
Пример 5: 4,0*10³x 2,25*10²=(4,0x2,25)x(10³⁺²)= 9,0*10⁵
Пример 6: 5,0*10⁶ /2,5*10³=(5,0/2,5)x(10^6-3)= 2,0*10³
И теперь, если уж Вы дочитали до этого места, самое главное - зачем это придумано: попробуйте сравнить на глаз числа 970984567234109879 и 1211121111211121112125? Впечатляет? А попробуйте их же в стандартном виде: 9,70984567234109879*10¹⁷ и 1,211121111211121112125*10²¹. Понятно, что первое на 4 порядка меньше? Понятно, что величина первого по отношению ко второму ниже, чем точность большинства расчетных моделей? Понятно, что в большинстве практических случаев первую величину вообще не следует брать в расчет, если вклад величин в процесс пропорционален? Понятно, что изменение второй величины на 10% значительно превосходит изменение первой в 3 раза? и т.д.